En búsqueda de la eficacia óptima

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Fátima Lizarte López

Investigadora predoctoral de la UC

Programa de Doctorado: Doctorado en Ciencia y Tecnología

Rama del conocimiento: Matemáticas

Director del Proyecto de Investigación Doctoral: Carlos Beltrán Álvarez

Contacto: fatima.lizarte@unican.es 


PROYECTO DE DOCTORADO:

EN BÚSQUEDA DE LA EFICACIA ÓPTIMA

A todos nos han enseñado en la escuela a resolver una ecuación de segundo grado. Sin embargo, en la práctica nos encontramos con frecuencia que debemos resolver simultáneamente ecuaciones más complicadas donde interviene más de una variable y el grado es mayor. Esto se conoce como sistemas de ecuaciones polinomiales. En esta situación no existe una fórmula que nos de la solución, pero sí que existe un método llamado método de homotopía. Este se basa en resolver un sistema a partir de otro  del que se conoce su solución. La idea es modificar poco a poco el conocido, observando cómo cambia su solución, hasta llegar al que deseamos resolver. Uno espera que al final la solución deformada se parezca mucho a la solución buscada. Este esquema es sencillo de implementar computacionalmente y en la práctica parece que funciona. El caso fundamental de este método es la búsqueda de raíces de un polinomio. Un estudio riguroso es esencial para garantizar al usuario que el método es eficaz, los resultados obtenidos por ordenador son correctos y el tiempo invertido es asumible. 

Las  resoluciones  de  esos  sistemas  tienen  multitud  de  aplicaciones.  Un  ejemplo  lo encontramos en la industria automovilística ya que  cada instante de movimiento de un brazo robótico utilizado para la fabricación de coches se corresponde con la solución de un sistema de este tipo. Así que resolverlos de forma rápida y eficaz es esencial. Matemáticamente, esa rapidez y eficacia se mide a través de los conceptos de complejidad y condicionamiento cuyo origen lo encontramos en el estudio de polinomios. Decimos que éstos están bien condicionados cuando pequeñas perturbaciones en sus coeficientes suponen pequeñas variaciones en sus raíces.  

En  1993,  los  matemáticos  Shub  y  Smale  propusieron  el  problema  de  encontrar  un algoritmo que, para cada número natural, genere un polinomio de ese grado bien condicionado.

Hasta hace muy poco no se conocía ni uno solo pese a la existencia de una gran multitud. Recientemente este problema ha sido resuelto mediante un complejo proceso, pero aún no se conoce una fórmula directa: encontrarla es mi objetivo.

Existe un proceso matemático que permite trasladar de manera única las raíces de un polinomio a la esfera  y viceversa. Esto permite expresar su condicionamiento en términos de dichos puntos esféricos. Entonces, ¿cómo  buscamos  el  polinomio?  

  • Creamos una colección de puntos bien distribuidos en las paralelas de una esfera:  tantos puntos como el grado del polinomio que buscamos. 
  • Entonces, mediante un estudio analítico probamos que el polinomio cuyas raíces se obtienen a partir de esos puntos esféricos tiene condicionamiento óptimo. 



Los avances en el estudio del condicionamiento son esenciales para elmdiseño de algoritmos computacionales eficientes. Además, está relacionado con otros problemas de gran interés como el problema 7 de Smale (distribución de puntos en la esfera) lo que convierte mi área de trabajo en una piedra angular de la matemática moderna.